丟番圖方程

丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程，是變數僅容許是整數的多項式等式；即形式如 ，其中所有的a_j、b_j和c均是整數，若其中能找到一組整數解m₁,m₂...m_n者則稱之有整數解。

丟番圖問題有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。對丟番圖問題的數學研究稱為丟番圖分析。

3世紀希臘數學家亞歷山大城的丟番圖曾對這些方程進行研究。

丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數解、四平方和定理和費馬最後定理等。

[编辑] 一次不定方程

一次不定方程是形式如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = c的方程，一次不定方程有整數解的充要條件為： (a₁,...,a_n)須是c的因數，其中(a₁,...,a_n)表示a₁,...,a_n的最大公因數。

若有二元一次不定方程ax + by = c，且(a,b) | c，則其必有一組整數解x₁,y₁，並且還有以下關係式：

• x = x₁ + [b / (a,b)]t
• y = y₁ − [a / (a,b)]t

t為任意整數，故此一次不定方程有無限多解。請參見貝祖等式。

[编辑] 丟番圖分析

[编辑] 經典問題

• 有解答嗎？
• 除了一些顯然易見的解答外，還有哪些解答？
• 解答的數目是有限還是無限？
• 理論上，所有解答是否都能找到？
• 實際上能否計算出所有解答？

[编辑] 希爾伯特第十問題

1900年，希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年，一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理（Matiyasevich's theorem）說明：一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個演算法能夠判定任何丟番圖方程式否有解，甚至，在任何相容於 Peano 算數的系統當中，都能具體構造出一個丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。

[编辑] 現代研究

• 丟番圖集是遞歸可枚舉集。
• 常用的方法有無窮遞降法和哈賽原理。
• 丟番圖逼近研究了變數為整數，但係數可為無理數的不等式。