圓周率

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2个分类: 超越數 | 数学常数

手写体写的 π

圓周率，一般以 π 來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定义为圓形之周长与直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。

在分析學上，π 可以嚴格地定義為滿足 sin(x) = 0 的最小正實數 x，這裡的 sin 是正弦函數（採用分析學的定義）。

常用 π 的十進位近似值為 3.1415926，另外還有由祖沖之给出的約率： $\frac{22}{7}$ 及密率： $\frac{355}{113}$ 。

[编辑] π 的计算及历史

由于 π 的超越性，所以只能以近似值的方法计算 π。对于一般应用 3.14 或 $\frac{22}{7}$ 已足够，但工程学常利用 3.1416 （5个有效数字）或 3.14159 （6个有效数字）。至于密率 $\frac{355}{113}$ 　则是易于记忆，精确至7位有效数字的分数。

[编辑] 实验时期

中国古籍云：『周三径一』，意即 π=3。公元前17世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》（Ahmes，又称“阿梅斯草片文书”；为英国人Henry Rhind于1858年发现，因此还称“Rhind草片文书”）是世界上最早给出圆周率的超過十分位的近似值，为 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。

至阿基米德之前，π值之测定倚靠实物测量。

[编辑] 几何法时期——反复割圆

阿基米得用几何方法得出圆周率是介乎 $3\frac{1}{7}$ 与 $3\frac{10}{71}$ 之间。

公元263年，刘徽用“割圆术”给出 π=3.14014 并限出 3.14 是个很好的近似值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”；其中有求极限的思想。

公元466年，祖冲之用割圆术算到小数点后7位精度，这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

[编辑] 分析法时期——无穷级数

这一时期人们开始摆脱利用割圆术的繁复计算，开始利用无穷级数或无穷连乘积求π。

Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 计算出首 35 个小数字。他对此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。

Slovene 数学家Jurij Vega于1789年得出首 140 个小数字，其中有 137 个是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他是利用了John Machin于1706年提出的数式。

所有以上的方法都不能快速算出 π。第一个快速算法由 Machin 提出：

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

其中 arctan(x) 可由泰勒级数算出。类似方法称为“类Machin算法”。

[编辑] 计算器时代

上万位以上的小数字值通常利用 Gauss-Legendre算法或 Borweins算法；另外以往亦曾使用于1976年发现的 Salamin-Brent算法。

第一个 π 和 1/π 的百万小数字利用了 Project Gutenberg。最新纪录是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 个小数位，由拥有 1TB 主存储器的 64-node 日立超级计算机，以每秒 200 亿运算惊人速度得出，比旧纪录多算出一倍 (206 亿小数位)。此纪录由以下类Machin算法得出：

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ (K. Takano, 1982年)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ (F. C. W. Störmer, 1896年)

这么多的小数字没什么实用价值，只用以测试超级计算机。

1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普劳夫发现了 π 的其中一个无穷级数：

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

以表达式可以计算 π 的第 n 个二进制或十六进制小数，而不需先计算之前 n-1 个小数位。此類π演算法稱為Bailey-Borwein-Plouffe演算法。请参考 Bailey's website 上相关程序。

Fabrice Bellard於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP演算法：

$\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)$

其它计算圆周率的方法包括：

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (拉馬努金)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)

$\pi = \frac {426880 \sqrt {10005}} {\sum_{k=0}^\infty \frac {(6n)!\ (545140134n + 13591409)} { (n!)^3\ (3n)!\ (-640320)^3n}}$ [1]

[编辑] 年表

日期	计算者	pi;的值 (世界纪录用粗体表示)
前20世纪	巴比伦人	25/8 = 3.125
前20世纪	埃及人Rhind Papyrus	(16/9)² = 3.160493...
前12世纪	中国	3
前6世纪中	圣经列王记上7章23节	3
前434年	阿那克萨哥拉尝试通过标尺作图来化圆为方
前3世纪	阿基米得	223/71 < π < 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163...
20 BC	Vitruvius	25/8 = 3.125
130年	张衡	√10 = 3.162277...
150年	托勒密	377/120 = 3.141666...
250年	王蕃	142/45 = 3.155555...
263年	刘徽	3.14159
480年	祖冲之	3.1415926 < π < 3.1415927
499年	Aryabhatta	62832/20000 = 3.1416
598年	Brahmagupta	√10 = 3.162277...
800年	花拉子密	3.1416
12世纪	Bhaskara	3.14156
1220年	比萨的列奥纳多	3.141818
1400年	Madhava	3.1415926359
以后的纪录都仅记录多少位小数點后而不出实际值
1424年	Jamshid Masud Al Kashi	16位小数
1573年	Valenthus Otho	6位小数
1593年	Francois Viete	9位小数
1593年	Adriaen van Roomen	15位小数
1596年	Ludolph van Ceulen	20位小数
1615年	Ludolph van Ceulen	32位小数
1621年	Willebrord Snell (Snellius), Van Ceulen 的学生	35位小数
1665年	牛顿	16位小数
1699年	Abraham Sharp	71位小数
1700年	Seki Kowa	10位小数
1706年	John Machin	100位小数
1706年	William Jones 引入希腊字母 π
1730年	Kamata	25位小数
1719年	De Lagny 计算了 127 个小数字，但并非全部是正确的	112位小数
1723年	Takebe	41位小数
1734年	莱昂哈德·欧拉引入希腊字母 π 并肯定其普及性
1739年	Matsunaga	50位小数
1761年	Johann Heinrich Lambert 证明 π 是无理数
1775年	欧拉指出 π 是超越数的可能性
1789年	Jurij Vega 计算了 140 个小数字，但并非全部是正确的	137位小数
1794年	Adrien-Marie Legendre 证明 π² 是无理数（则 π 也是无理数），并提及 π 是超越数的可能性
1841年	Rutherford 计算了 208 个小数字，但并非全部是正确的	152位小数
1844年	Zacharias Dase 及 Strassnitzky	200位小数
1847年	Thomas Clausen	248位小数
1853年	Lehmann	261位小数
1853年	Rutherford	440位小数
1853年	William Shanks	527位小数
1855年	Richter	500位小数
1874年	William Shanks耗费 15 年计算了 707 个小数字，可惜1946年D. F. Ferguson发现其结果非全对	527位小数
1882年	Lindemann 证明 π 是超越数（Lindemann-Weierstrass 定理）
1946年	D. F. Ferguson 使用桌上计算器	620位小数
1947年		710位小数
1947年		808位小数
1949年	J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用计算机（ENIAC）计算 π，以后的记录都用计算机来计算的	2,037位小数
1953年	Mahler证明 π 不是Liouville 数
1955年	J. W. Wrench, Jr, 及 L. R. Smith	3,089位小数
1961年		100,000位小数
1966年		250,000位小数
1967年		500,000位小数
1974年		1,000,000位小数
1992年		2,180,000,000位小数
1995年	金田康正	> 6,000,000,000位小数
1999年	金田康正和Takahashi	> 206,000,000,000位小数
2002年	金田康正的队伍	> 1,241,100,000,000 位小数

[编辑] π的特性和相關方程

幾何：

若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r

若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r²

若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab

若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r³

若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r²

角度： 180 度相等於 π 弧度

[编辑] 代數

π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺规作图問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。

[编辑] 數學分析

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$ (Leibniz 定理)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$ (Wallis乘積)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (歐拉)

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (斯特林(Stirling)公式)

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (歐拉(Euler)公式)

π 有個特別的連分數表達式：

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

π 本身的连分数表达式(简写)为 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分给出的首三个渐近分数

$3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}} = \frac{333}{106}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}$

第一个和第三个渐近分数即为疏率和密率的值。数学上可以证明，这样得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。

(另有 12 個表達式見於 [2] )

[编辑] 數論

兩個任意自然數是互質的概率是 6/π²。

一個任意整數沒有重複質因數的概率為 6/π²。

一個任意整數平均可用 π/4 個方法寫成兩個完全数之和。

[编辑] 概率論

取一枚長為l的針，再取一張白纸在上面画上一些距离為2l的平行线。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到纸面上。針與平行线相交的概率是圓周率的倒数（泊松针）。曾經有人以此方法來尋找 π 的值。

[编辑] 動態系統 / 遍歷理論

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}$

對[0, 1]中幾乎所有 x₀，其中 x_i 是 iterates of the Logistic map for r=4.

[编辑] 物理學

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ (海森堡測不準原理)

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$ (相對論的場方程)

[编辑] 統計學

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}$ }- （此為常態分配的機率密度函數）

[编辑] 尚待解决的问题

关于 π 未解决的问题包括

它是否是一个正规数，即 π 的十进制表达式是否包含所有的有限数列。对于二进位表达式，答案是肯定的，这是 Bailey 及 Crandall 于2000年从 Bailey-Borwein-Plouffe 方程的存在而引申出来的。
0,...,9是否以完全随机的形出现在 π 的十进制表达式中。若然，则对于非十进制表达式，亦应有类似特质。
究竟是否所有0,...,9都会无限地出现在 π 的小数表达式中。
到底超级计算机计算出来的上亿位的圆周率是否正确。

[编辑] 圓周率的值

主條目：圓周率的值

1,241,100,000,000個小數位數當然是太多了，所以一般教育教的值是3.14或3，所超過3.1415926535897932384626或3.14159或3.14之後的位數就比較少人知道了。

[编辑] 文化

[编辑] 背诵π的位数

世界记录是100000位，原口証（en:Akira Haraguchi）於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。中文用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒,尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐」，就是3.1415926535897932384626。

[编辑] π在數學外的用途

在Google公司 2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小数点後的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）
排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.141592
3月14日为圆周率日

[编辑] 参见

[编辑] 外部连接

寻找π值的计划
百万圆周率 π的小数点后前1百万位
前1.2兆位中的部分数据
將π前一万位化作音乐旋律
SuperPI 计算π值的軟體，电脑硬體玩家常用来测试电脑运算速度(日文)
计算圆周率
PiFast 個人電腦上最快的計算π值軟體，是個人電腦計算π值紀錄保持軟體。

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