帕累托分布

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1个分类: 概率分布

帕累托分布 (x_min=1)

帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。

在帕累托分布中，如果X是一个随机变量，则X的概率分布如下面的公式所示：

${\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k}$

其中x是任何一个大于x_min的数，x_min是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：x_min和k。分布密度则为

$p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x < x_{\min}; \\ \\ {k \; x_{\min}^k \over x^{k+1}}, & \mbox{if }x > x_{\min}. \end{matrix} \right.$

帕累托分布属于连续概率分布。 “吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为 $x_{\min} \; k \over k-1$ (如果 $k \leq 1$ , 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 ${x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2}$ (如果 $k \leq 2$ , 标准差不存在)。