梅森素数

[编辑] 定义

梅森数是指形如2ⁿ − 1的数，记为M_n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。

• 梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n < 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M₆₇ 和M₂₅₇，而遗漏了M₆₁、M₈₉ 和M₁₀₇。

[编辑] 例

• M₂ = 2² − 1 = 3、M₃ = 2³ − 1 = 7 是素数。
• M₄ = 2⁴ − 1 = 15 不是素数。

[编辑] 相关命题和定理

[编辑] 梅森数和梅森素数的性质

• 。

• q ≡ 3 mod 4 为素数。则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M_q。

• 拉馬努金给出：方程M_q = 6+x²当q为3、5和7时有三个解；q为合数时有2个解。

[编辑] 梅森数和梅森素数的关系

下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。

• 由}-知：q是素数是M_q是素数的必要条件。但这不是充分的。M₁₁ = 2¹¹ − 1 = 23 × 89 是个反例。
• 对M_q（q是素数）有：
  • 若a是M_q的因数，则a有如下性质：
    • a ≡ 1 mod 2q
    • a ≡ ±1 mod 8
  • 欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M_q是素数当且仅当存在数对(x,y)使得 M_{q = (2x)² + 3(3y)²，其中q ≥ 5。}
  • 最近，Bas jansen 研究了等式M_q = x² + dy²（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
  • Reix 发现q > 3时，M_q可以写成：M_q = (8x)² - (3qy)² = (1+Sq)² - (Dq)²。显然，若存在一个数对(x,y)，那么M_q是素数。

[编辑] 梅森数的素性检验

• 卢卡斯-莱默检验法是现在已知的检测梅森数素性的最好的方法。
  • 该方法由爱德华·卢卡斯于1878年发现，并由莱默1930年代作了改进，因此得名。
  • 该方法基于循环数列的计算，其原理是：

M_n为素数当且仅当M_n整除S_n-2（S₀=4，S_k = S_{k − 1}² − 2，k > 0）。

[编辑] 与完全数的关系

• 梅森素数与偶完全数有一一对应的关系。
  • 前4世纪，欧几里德(Euclid)证明如果M是梅森素数，那么M(M+1)/2是完全数。
  • 18世纪，欧拉(Euler)证明所有的偶完全数都有这种形式。

[编辑] 相关问题和猜想

• 是否有无穷多个梅森素数.
• 梅森素数如何分布.
  • 中国数学家及语言学家周海中于1992年提出猜想:当2²ⁿ＜p＜2²ⁿ⁺¹时，Mp有2ⁿ⁺¹－1个是素数。他还据此作出了p＜2²ⁿ⁺¹时梅森素数的个数为2ⁿ⁺²－n－2的推论（注：p为素数；n=0,1,2,3…；Mp为梅森数）。后来，其猜想被数学界命名为“周氏猜测”。

[编辑] 寻找梅森素数

• 头四个梅森素数M₂、M₃、M₅、M₇在古代就已经知道。
• 第五个梅森素数M₁₃在1461年之前被发现；
• 随后的两个（M₁₇ 和M₁₉）在1588年由Cataldi发现。
• 一个多世纪后的1750年，才由欧拉证实M₃₁ 是第8个梅森素数。
• 下一个被发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的M₁₂₇；
• 1883年，Pervushin证实M₆₁。
• M₈₉和M₁₀₇是在20世纪早期由 Powers分别在1911年和1914年发现的。
• 17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于257的梅森素数，其中错误地包括了不是素数的M₆₇ 和M₂₅₇，遗漏了M₆₁、M₈₉ 和M₁₀₇。
• 电子计算机的发明革命化的改进了梅森素数的寻找。第一个成功的例子是M₅₂₁的证明，它是在莱默指导下，使用R.M. Robinson教授编写的软件，利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学的数据分析协会的，属于美国国家标准局的西部自动计算机（SWAC）于1952年1月30日晚上10:00获得。并且在随后不到两小时，下一个梅森素数M₆₀₇被发现。在随后的几个月里，使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M₁₂₇₉、M₂₂₀₃和M₂₂₈₁。
• 到2006年9月，我们知道了44个梅森素数；现在已知最大的素数是梅森素数M_32,582,657。像前几个一样，都是由因特网梅森素数大搜索分布式计算项目发现的。

[编辑] 梅森素数列表

下面表中列出了所有已知的梅森素数：（OEIS中的数列A000668）

注：现在还不知道在第39个梅森素数（M_13,466,917）和第44个（M_32,584,657）之间是否还存在未知梅森素数，所以在其序号之前用^*标出。

[编辑] 外部链接

• 寻找梅森素数 Great Internet Mersenne Prime Search (英语)
• 第10個梅森質數 (www.mersenne.org/prime10.txt)
• 第9個梅森質數 (www.mersenne.org/prime9.txt)
• 第8個梅森質數 (www.mersenne.org/prime8.txt)
• 第7個梅森質數 (www.mersenne.org/prime7.txt)
• 第6個梅森質數 (www.mersenne.org/prime6.txt)
• 第5個梅森質數 (www.mersenne.org/prime5.txt)
• 第4個梅森質數 (www.mersenne.org/prime4.txt)
• 第3個梅森質數 (www.mersenne.org/prime3.txt)
• 第2個梅森質數 (www.mersenne.org/prime2.txt)
• 第1個梅森質數 (www.mersenne.org/prime.txt)