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数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
[编辑] 测度论
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。
[编辑] 定义
形式上说，一个测度 （详细的说法是可列可加的正测度）是个函数，它在 上的一个σ代数 上定义，于扩充区间![[0,\infty]](/images/math/3/1/5/315e0047ccbfa87354192dac2fe986fb.png) 中取值，并且满足以下性质：
-
 。
- 可数可加性，或称σ可加性：若
 为中两两不交集合的可数序列，则所有 的并集的测度，等于每个的测度之总和：
-
 。
这样的三元组 称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
[编辑] 性质
下面的一些性质可从测度的定义导出：
[编辑] 单调性
测度的单调性： 若 和 为可测集，而且 ，则  。
[编辑] 可数个可测集的并集的测度
若  为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的 ， 是 的子集，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：
-
以及如下极限：
-
[编辑] 可数个可测集的交集的测度
若 为可测集，并且对于所有的，是的子集，则的交集是可测的。进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：
-
如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。例如对于每一个 ，令
-
这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
[编辑] σ有限测度
详见σ有限测度
一个测度空间称为有限测度空间，如果 是一个有限实数（而不是 ）。它称为σ有限测度空间，如果 可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。称测度空间中的一个集合 具有σ有限测度，如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。
作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。
[编辑] 完备性
一个可测集 称为零测集，如果 。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑的所有这样的子集 ，它与某个可测集 仅差一个可去集，也就是说与的对称差包含于一个零测集中。由这些子集生成的σ代数，并定义 的值就等于 。
[编辑] 例子
下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。
- 计数测度 定义为
 的「元素个数」。
- 一维勒贝格测度 是定义在
 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足![\mu([0,1])=1\](/images/math/c/7/a/c7a36793073e1288383b0d6b7690dea7.png) 的唯一测度。
- Circular angle 测度 是旋转不变的。
- 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
- 恆零测度 定义为
 ，对任意的 。
- 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。
其它例子，包括： 狄拉克测度 波莱尔测度 约当测度 遍历测度 欧拉测度 高斯测度 贝尔测度 拉东测度
[编辑] 相关条目
- 外测度(Outer measure)
- 內测度(Inner measure)
- 豪斯道夫测度(Hausdorff measure)
- 乘积测度(Product measure)
- 几乎处处(Almost everywhere)
- 勒贝格积分 (Lebesgue integration)
- 勒贝格测度(Lebesgue measure)
- 卡拉西奧道里扩张定理(Caratheodory extension theorem)
- 可测函数(Measurable function)
- 斯廷豪斯定理(Steinhaus theorem)
[编辑] 参考文献
- R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
- D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
- Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
- M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
- Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.
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