皮亚诺公理

跳转到: 导航, 搜索

本節或条目没有引用其参考或来源。
請加上適當的資料來源或引用來改善這篇條目。

皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

[编辑] 公理

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1是自然数；
每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；
如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；
1不是任何自然数的后继数；
任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理保证了数学归纳法的正确性)

若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。

更正式的定义如下：

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：

则 A = X。

关于皮亚诺公理的内容有不同版本。其中第一个公理分别被阐述为：

1是一个自然数。http://www.mscf.uky.edu/~lee/ma502/notes2/node7.html声称来自Edmund Landau的著作 Foundations of Analysis，1951年出版。同样的内容见西班牙文维基条目。
0是一个数字。http://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html声称来自Wolfram, S.的著作 A New Kind of Science， 2002年出版
0是一个自然数。http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html，同样的内容见英文维基条目。
存在一个自然数0。和“0是一个自然数”等价。见日文维基条目。

皮亚诺算术(PA)的公理:

$\forall x(Sx \neq 0)$ 。
$\forall x,y((Sx = Sy) \Rightarrow x=y)$ 。
$(\varphi[0] \wedge \forall x(\varphi[x]\Rightarrow\varphi[Sx])) \Rightarrow \forall x(\varphi[x])$ ，对于在 PA 的语言中的任何公式 $\varphi$ 。
$\forall x(x+0=x)$ 。
$\forall x,y(x+Sy = S(x+y))$ 。
$\forall x(x \cdot 0=0)$ 。
$\forall x,y(x \cdot Sy = (x \cdot y) + x)$ 。