矛盾

维库，知识与思想的自由文库

粗略的说，矛盾是在两个或更多陈述、想法或行动之间的不一致。你必须彻底的拒绝至少其中一个想法。

汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事：楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷之。”以誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷子之盾，何如？”其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛不可同世而立。

在逻辑中，矛盾被更加特殊化的定义为同时断言一个陈述和它的否定(可以使用"否认"替代"否定")。当然，这假定了"否定"有着无疑问的定义。这个想法基于亚里士多德的无矛盾律，它声称“你不能同时声称某事物在同一方面既是又不是”。

在口语和辩证法中，"矛盾"有着同形式逻辑中完全不同的意义。

[编辑] 利用矛盾的证明

在演绎逻辑(和数学)中，矛盾通常作为有什么东西错误了的迹象，你需要折回你的推理的步骤并"检查你的前提"。这在数学中的反证法中发挥了巨大的作用: 因为矛盾永远不能为真，所以它永远不能是有着全部为真的前提的有效论证的结论。要构造一个利用矛盾的证明，你需要从一组前提构造一个有效的论证，得出是逻辑矛盾的一个结论。因为结论为假，并且论证是有效的，唯一的可能性是一个或多个前提为假。在很多关键的数学证明中使用了这种方法，比如欧几里得对没有最大素数的证明，和康拖尔对在 0 和 1 之间有不可数的多个实数的对角线证明。

[编辑] 涉及矛盾的悖论

矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在一阶谓词演算中从矛盾中可以推导出任何命题(也叫陈述)。换句话说，依据谓词演算，不管 P 和 Q 意味着什么，如果 P 和 ¬P 都为真的，则 Q 为真。在这个事实的表达中，矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑爆炸"。

例如，下列论证是严格有效的，就是说前提在逻辑上蕴涵结论:

前提: 5 既是偶数又是奇数。(就是在上述公式中的 P ∧ ¬P)。
结论: 神存在。 (就是 Q)。

下面的论证也是有效的:

前提: 5 既是偶数又是奇数。(就是 P ∧ ¬P)。
结论: 神不存在。(就是 ¬Q)。

注意这两个论证共有的前提是错误的；5 是奇数而不是偶数。所以这些论证都不是可靠的，这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。

可能大多数人认为这是怪异的，如果 5 既是偶数又是奇数，就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如神的存在性的结论。更加怪异的是，这个悖论还蕴涵了，如果一个人有是矛盾的任何两个信仰，则这个人在逻辑上证实任何可想象到的信仰。

[编辑] 这个悖论的证明

即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的，它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。

第一个方法来自合取和蕴涵的真值表定义:

(P ∧ ¬P) 为假。
所以，(P ∧ ¬P) → Q 为空虚真理。

第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷:

假设 P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出:
1. P (合取除去)
2. ¬P (合取除去)
3. 假设 ¬Q。基于这个假定我们可以推导出:
  1. P (前面的结果)
4. 所以 ¬Q → P (条件证明)
5. ¬P → Q (前面一行的逆反命题)
6. Q (肯定前件)
所以 (P ∧ ¬P) → Q (条件证明)