群

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2个分类: 代数 | 群论

群（Group）是現代代數學的基本代數結構。最早由法國數學家伽羅華提出。

[编辑] 歷史

參見群論

[编辑] 群的概念

群是一個代數結構：它是一個非空集合 $G$ ，若在集合 $G$ 下定義一個二元運算，我們記作「 $\cdot$ 」，且符合：

$\cdot$ 对于 $G$ 闭合： $\forall a,b \in G$ ，如果 $c=a\cdot b$ ，则 $c \in G$ 。
满足结合律: $\forall a,b,c \in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ；
存在單位元： $\exist e \in G$ , 使得 $e\cdot a=a\cdot e=a(\forall a \in G)$ , 其中 $\!e$ 被稱為 $\!G$ 中的單位元；
存在逆元素： $\forall a \in G$ ， $\exist$ $a^{-\!1} \in G$ ，使得： $a\cdot a^{-\!1}=e=a^{-\!1}\cdot a$ ，其中 $a^{-\!1}$ 被稱為 $\!a$ 的逆元素；

符合上面定義的 $(G,\cdot )$ 稱之為群，简记作群 $G$ 。

阿貝爾群 :

若 $\forall a,b \in G$ ， $a\cdot b=b\cdot a$ ；那麼這個群稱之為交换群或阿貝爾群（Abelian group）。

群的阶：

集合G中的元素個數稱為群G的階，記為 $\left| G\right|$ 。

群的元素的阶：

$\forall a \in G$ ，a的阶指使得

a n = e

的最小正整数n，记作n=o(G)，如果这样的n不存在，那么称o(G)=∞。

如果 $G$ 中只有有限多個元素， $G$ 就被稱為有限群；如果 $G$ 中有無限多個元素， $G$ 就被稱為無限群。

[编辑] 群的例子

[编辑] 基本性質

群G有且只有一個單位元

证明：如果G中存在两个单位元素e₁和e₂，那么可得

e₁=e₁e₂=e₂

群G中的每個元素有且只有一個逆元素

证明：对G中一个元素a，如果存在b和c，使得b和c都是a的逆元素，那么

就有

$c=e\cdot c=(b\cdot a)\cdot c=b\cdot (a\cdot c)=b\cdot e=b$

對於群G中任意的元素 $a, b$ ，方程 $a x = b$ 和 $y a = b$ 均有唯一解

证明：将

a x = b

同时在左边乘以

a - 1

，可得到： $x=a^{-1}\cdot b$ ，显然 $x=a^{-1}\cdot b$ 正是解，于是

a x = b

有唯一解： $x=a^{-1}\cdot b$ 。

同理，

y a = b

有唯一解： $y=b\cdot a^{-1}$ 。

群G中任意n個元素 $a_1,\cdots ,a_n$ 的連續乘積與運算的順序無關，也就是說可以寫成 $a_1\cdots a_n$

证明：这是交换律的延伸，用数学归纳法便可得到。

[编辑] 子群

概念：設 $G$ 是一個群，若 $S$ 是 $G$ 的一個非空子集且同時 $S$ 是一個群，則 $S$ 稱為 $G$ 的一個子群。
正規子群 参见主条目正规子群

1. 陪集：設 $S$ 為 $G$ 的一個子群， $a$ 是 $G$ 裡的一個元素，那麼子集 $a S$ 稱為 $S$ 在 $G$ 中的一個左陪集，記做 $\bar{a}$ （這裡 $a S$ 的意思是 $aS=\{ah \mid \forall h \in S\}$ ）。類似地可以定義右陪集。
2. 若 $\forall a\in G, aSa^{-1}=S$ ，則稱 $S$ 為 $G$ 的一個正規子群，此時子群 $S$ 的陪集連同 $S$ 組成了一個群（稱作 $S$ 對 $G$ 的商群，記作 $G / S$ ），事實上，此時 $S$ 相當於單位元。 $\bar{a\cdot b}=\bar{a}\cdot \bar{b}$

[编辑] 類

共軛：如果同一個群中的兩個元素P和Q滿足關系：P = X ^{− 1}QX，其中X也是同一個群中的元素，則稱元素P和Q共軛。
1. 共軛是相互的，如果元素 $P$ 與元素 $Q$ 共軛，則可證明元素 $Q$ 也與元素 $P$ 共軛
2. 共軛是可以傳遞的，如果群中的元素 $P$ 與元素 $Q$ 相互共軛；而元素 $Q$ 又與群中另一元素 $R$ 共軛，則必有 $P$ 與 $R$ 共軛
類（共軛類）：在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關系了，則稱這個集合為群中的一個共軛類
1. 同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素
2. 群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類，如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類

[编辑] 同態

设G与G'是群， $φ$ :G →G' 是從G映射到G'的函數，

如果 $φ$ 滿足

$\forall a,b\in G,\phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b)$ ，

則稱此函數φ為群同態。

若φ:G →G'是一個群同態，則

$im(\phi ) = \left\{ \phi (a)\in G'| a\in G \right\} , \qquad im(\phi )$ 稱為

φ

的像（image）。

$ker(\phi ) = \left\{ a\in G| \phi (a)= e' \right\} , \qquad e'$ 為G'的單位元素，稱為 φ 的核（kernel）。

[编辑] 表示

表示：如果任何非零方陣的集合的乘法關系和給定群的乘法關系相同，則這個矩陣集合形成群的一個表示，這套矩陣的階稱為表示的維數。
1. 等價表示：如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。
2. 可約表示和不可約：如果任何維數大於1的表示的所有矩陣都可以用相同的相似變換轉換為相同的塊對角矩陣結構，則稱此表示為可約表示，反之稱為不可約表示
特征標：在某個表示中，群元素 $R$ 的對應矩陣 $\mathbf{R}$ 的跡稱為元素 $R$ 在這個表示下的特征標